
\prob{0072}{三元分式方程组I}

若实数$x, y, z$满足
\[ \begin{cases}
  \sfrac1x + \sfrac1{y + z} = \sfrac12 \\
  \sfrac1y + \sfrac1{z + x} = \sfrac13 \\
  \sfrac1z + \sfrac1{x + y} = \sfrac14 \\  
\end{cases} \]
求$x, y, z$。
\problabels{yellow/代数, green/方程相关问题}

\ans{$x = \sfrac{23}{10}, y = \sfrac{23}6, z = \sfrac{23}2$}

\subsection{通分}

基本思路：通分，然后经过代数变换求解。

设$s = x + y + z$，则原方程组可变换为
\[ \begin{cases}
  zx + xy = 2s \\
  xy + yz = 3s \\
  yz + zx = 4s \\
\end{cases} \]
于是有
\[ xy + yz + zx = \frac92s \]
分别相减得
\[ \begin{cases}
  xy = \sfrac12s \\
  yz = \sfrac52s \\
  zx = \sfrac32s \\
\end{cases} \]
故
\[ \frac yx = \frac53, \frac zy = 3 \]
即$5x = 3y = z$。

将该结果代入原方程组有
\begin{align*}
  \frac1x + \frac1{\sfrac53x + 5x} &= \frac12 \\
  x &= \frac{23}{10} \\
\end{align*}
由此知
\[ y = \frac{23}6, z = \frac{23}2 \]
因此，$x = \sfrac{23}{10}, y = \sfrac{23}6, z = \sfrac{23}2$。
